公钥密码体制

博主： Xherlock
发布时间：2022 年 06 月 01 日
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分类：密码学

# 公钥密码体制

## 概述

对称密码体制缺点：

* 密钥管理困难（用户数量越多，所需密钥数量急剧增大）
* 系统开放性问题（必须各方信任）
* 难以提供数字签名功能（无法抗抵赖）

**公钥密码体制**又称非对称密码体制或双密钥密码体制，1976年由Diffie和Hellman提出，属于非对称密钥体制

![image-20220601112533771.png](http://xherlock.top/usr/uploads/2022/06/1443653415.png)

### 公钥密码基本思想

#### 对公钥密码要求

* 生成密钥对计算容易
* 发送方使用接收方公钥生成密文在计算上容易
* 接收方使用自己的私钥解密密文在计算上容易
* 由公钥计算私钥在计算上不可行
* 由公钥和密文还原明文在计算上不可行

#### 单向陷门函数

1. 给出f的定义域中的任何元素x，f(x)的计算是容易的
2. 给出y=f(x)中的y要计算x时，若知道设计函数f时结合进去的某种信息（陷门）则容易计算；若不知道该信息，则难以计算

目前基于一下设计单向函数和公钥密码体制：

* 大整数分解问题（RSA）
* 有限域上离散对数问题（ElGamal）
* 椭圆曲线上的离散对数问题（ECC）

### 公钥密码的应用

* 机密性的实现：加解密消息
* 数字签名
* 密钥分发和协商：实现在公开信道上的大规模密钥分发和协商

### 和对称密码体制对比

![image-20220601114940847.png](http://xherlock.top/usr/uploads/2022/06/3102589691.png)

## RSA公钥密码体制

数学基础：初等数论中的欧拉定理

安全性基础：大整数因子分解的困难性

### RSA算法

1. 生成密钥：
   * 选择两个大素数p、q（pq互素，需保密）
   * 计算$n=p\times q,\phi(n)=(p-1)\times(q-1)$
   * 选择整数e使得$(\phi(n),e)=1,1<e<\phi(n)$
   * 计算d，使得$d=e^{-1}mod\phi(n)$，得到公钥(e,n)，私钥d
2. 加密：密文$c=m^e(mod\,n)$
3. 解密：对密文，$m=c^d(mod\,n)$

### **RSA基本性质**

* 加密解密运算具有可交换性
* 加解密算法的有效性
* 在计算上由公开的加密密钥不能求出解密密钥：当合数n足够大时，因子分解很困难

### RSA的实现

#### 快速求模n指数运算

法一：平方-乘法算法

![94CF104A50E2A6EEA01A626BA5D7D940.png](http://xherlock.top/usr/uploads/2022/06/1520579792.png)

法二：中国剩余定理（CRT）

![2542C70558656EB7085291CD8F770B04.png](http://xherlock.top/usr/uploads/2022/06/3335595044.png)

#### 素数检测

Miller-Rabin素数概率检测法

**二次探测定理**：若p是一个奇素数，则方程$x^{2}=1\ mod\ p$的解只有x&equiv;1或x&equiv;-1

**费马小定理**：若不满足则p一定是合数

**Wilson定理**：$(p-1)!\equiv-1\ mod\ p$

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### RSA的安全性

基于分解大整数的困难性

现有的攻击手段：

* 对RSA的选择密文攻击
* 小加密指数e攻击

**选取参数建议**：

* p、q长度差不多
* p-1和q-1都应该包含大的素因子
* gcd(p-1,q-1)应该很小
* $d<n^{\frac{1}{4}}$

### RSA应用中的问题

1. 用户之间不要共享模数n（存在公共模数攻击）
2. 不同的用户选用的素数不能相同
3. 一般不能直接应用RSA进行加解密

## ElGamal公钥密码体制

算法描述：

**选取参数**

选取大素数p，&alpha;是p的一个本原元

**加密**：

1. 用户A先把明文M编码为一个在0到p-1之间的整数m作为传输的明文
2. 用户A挑选一个秘密随机数k（2&le;k&le;p-2）

并计算：$c1=\alpha^k(mod\ p)$ 和 $c2=my_{B}^{k}(mod\ p)$（$y_{B}$为用户B的公开密钥）
3. 用户A把二元组(c1,c2)作为密文传送给B

**解密**：

$m=c2(c1^{X_{B}})^{-1}$，$x_{B}$是用户B的秘密密钥

解密验证：$c2(c1^{X_{B}})^{-1}mod\ p=my^{k}(\alpha^{kx})^{-1}mod\ p=m\alpha^{kx}(\alpha^{kx})^{-1}mod\ p=m$

**算法特点**：

* 非确定性
* 密文空间大于明文空间

**算法安全性**：

* 安全性基于计算Zp上离散对数的困难性
* 要使用不同的随机数k来加密不同的信息
* 随机数k不可预测

## 椭圆曲线密码体制（ECC）

安全性基于椭圆曲线离散对数问题的难解性，同有限域上的离散对数相比

1. 密钥长度小
2. 算法性能好

### 椭圆曲线

由二元三次方程定义![image-20220601201723776.png](http://xherlock.top/usr/uploads/2022/06/3353610348.png)

不同数域上的椭圆曲线的表示和运算是不同的

引入无穷远点O，使椭圆曲线上解点的集合构成一个交换群，定义如下**加法规则**：

* O称为加法单位元，对ECC上任意点有：P+O=P
* 对点P(x,y)，有点Q(x,-y)满足：P+Q=O，称Q为P的逆元，记为-P
* 对不互逆的点P(x1,y1)，Q(x2,y2)

![image-20220601202404620.png](http://xherlock.top/usr/uploads/2022/06/335644950.png)

**nP=O，n为最小正整数，则称n为点P的阶**

### 椭圆曲线密码体制算法

1. 密码系统参数的生成

选取有限域GF(q)，和定义在GF(q)上的一条椭圆曲线E(a,b)，和E(a,b)上一个阶为大素数n的点G（基点）——三者为公开参数
2. 密钥生成：在[2,n-1]中随机选取一个整数dA，计算PA=dA\*G（公钥PA，私钥dA）
3. 加密：

* 通过某种方式将明文消息m通过编码映射到E上的点Pm
   * 在区间[2,n-1]中随机选取一个整数k
   * 计算c1=kG，c2=Pm+kPA，传送Cm=(c1.c2)
4. 解密：Pm=c2-dA\*c1

攻击难点在于Q=kP，给定k、P容易计算Q，给定P、Q难以解出k

### Menezes-Vanstone公钥密码体制

是在椭圆曲线上的一个有效实现，解决椭圆曲线明文必须编码映射到椭圆曲线上的点

用户B将源消息m变化成基域GF(p)上的二元组(m1,m2)，并执行加密算法：

* 在区间[2,n-1]中随机选取一个整数k
* 计算(c1,c2,c3)，c1=kG，Y=(y1,y2)=kPA，c2=y1m1(mod p)，c3=y2m2(mod p)

PA=dAG为用户A的公开密钥

A收到密文后解密

* Z=(z1,z2)=dAc1
* 计算明文m=(m1,m2)=$(c_{2}z1^{-1}(mod\ p),c_{3}z2^{-1}(mod\ p))$

最后修改：2022 年 06 月 01 日

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mars
博主你好，请问怎么知道的alloc函数属于Buffer下的方法...
lj
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Mr.Guan
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Typecho
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公钥密码体制

Xherlock • 2022 年 06 月 01 日

# 公钥密码体制

## 概述

对称密码体制缺点：

* 密钥管理困难（用户数量越多，所需密钥数量急剧增大）
* 系统开放性问题（必须各方信任）
* 难以提供数字签名功能（无法抗抵赖）

**公钥密码体制**又称非对称密码体制或双密钥密码体制，1976年由Diffie和Hellman提出，属于非对称密钥体制

![image-20220601112533771.png](http://xherlock.top/usr/uploads/2022/06/1443653415.png)

### 公钥密码基本思想

#### 对公钥密码要求

#### 单向陷门函数

目前基于一下设计单向函数和公钥密码体制：

* 大整数分解问题（RSA）
* 有限域上离散对数问题（ElGamal）
* 椭圆曲线上的离散对数问题（ECC）

### 公钥密码的应用

* 机密性的实现：加解密消息
* 数字签名
* 密钥分发和协商：实现在公开信道上的大规模密钥分发和协商

### 和对称密码体制对比

![image-20220601114940847.png](http://xherlock.top/usr/uploads/2022/06/3102589691.png)

## RSA公钥密码体制

数学基础：初等数论中的欧拉定理

安全性基础：大整数因子分解的困难性

### RSA算法

### **RSA基本性质**

* 加密解密运算具有可交换性
* 加解密算法的有效性
* 在计算上由公开的加密密钥不能求出解密密钥：当合数n足够大时，因子分解很困难

### RSA的实现

#### 快速求模n指数运算

法一：平方-乘法算法

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法二：中国剩余定理（CRT）

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#### 素数检测

Miller-Rabin素数概率检测法

**二次探测定理**：若p是一个奇素数，则方程$x^{2}=1\ mod\ p$的解只有x&equiv;1或x&equiv;-1

**费马小定理**：若不满足则p一定是合数

**Wilson定理**：$(p-1)!\equiv-1\ mod\ p$

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### RSA的安全性

基于分解大整数的困难性

现有的攻击手段：

* 对RSA的选择密文攻击
* 小加密指数e攻击

**选取参数建议**：

* p、q长度差不多
* p-1和q-1都应该包含大的素因子
* gcd(p-1,q-1)应该很小
* $d<n^{\frac{1}{4}}$

### RSA应用中的问题

1. 用户之间不要共享模数n（存在公共模数攻击）
2. 不同的用户选用的素数不能相同
3. 一般不能直接应用RSA进行加解密

## ElGamal公钥密码体制

算法描述：

**选取参数**

选取大素数p，&alpha;是p的一个本原元

**加密**：

1. 用户A先把明文M编码为一个在0到p-1之间的整数m作为传输的明文
2. 用户A挑选一个秘密随机数k（2&le;k&le;p-2）

并计算：$c1=\alpha^k(mod\ p)$ 和 $c2=my_{B}^{k}(mod\ p)$（$y_{B}$为用户B的公开密钥）
3. 用户A把二元组(c1,c2)作为密文传送给B

**解密**：

$m=c2(c1^{X_{B}})^{-1}$，$x_{B}$是用户B的秘密密钥

解密验证：$c2(c1^{X_{B}})^{-1}mod\ p=my^{k}(\alpha^{kx})^{-1}mod\ p=m\alpha^{kx}(\alpha^{kx})^{-1}mod\ p=m$

**算法特点**：

* 非确定性
* 密文空间大于明文空间

**算法安全性**：

* 安全性基于计算Zp上离散对数的困难性
* 要使用不同的随机数k来加密不同的信息
* 随机数k不可预测

## 椭圆曲线密码体制（ECC）

安全性基于椭圆曲线离散对数问题的难解性，同有限域上的离散对数相比

1. 密钥长度小
2. 算法性能好

### 椭圆曲线

由二元三次方程定义![image-20220601201723776.png](http://xherlock.top/usr/uploads/2022/06/3353610348.png)

不同数域上的椭圆曲线的表示和运算是不同的

引入无穷远点O，使椭圆曲线上解点的集合构成一个交换群，定义如下**加法规则**：

* O称为加法单位元，对ECC上任意点有：P+O=P
* 对点P(x,y)，有点Q(x,-y)满足：P+Q=O，称Q为P的逆元，记为-P
* 对不互逆的点P(x1,y1)，Q(x2,y2)

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**nP=O，n为最小正整数，则称n为点P的阶**

### 椭圆曲线密码体制算法

1. 密码系统参数的生成

* 通过某种方式将明文消息m通过编码映射到E上的点Pm
   * 在区间[2,n-1]中随机选取一个整数k
   * 计算c1=kG，c2=Pm+kPA，传送Cm=(c1.c2)
4. 解密：Pm=c2-dA\*c1

攻击难点在于Q=kP，给定k、P容易计算Q，给定P、Q难以解出k

### Menezes-Vanstone公钥密码体制

是在椭圆曲线上的一个有效实现，解决椭圆曲线明文必须编码映射到椭圆曲线上的点

用户B将源消息m变化成基域GF(p)上的二元组(m1,m2)，并执行加密算法：

* 在区间[2,n-1]中随机选取一个整数k
* 计算(c1,c2,c3)，c1=kG，Y=(y1,y2)=kPA，c2=y1m1(mod p)，c3=y2m2(mod p)

PA=dAG为用户A的公开密钥

A收到密文后解密

* Z=(z1,z2)=dAc1
* 计算明文m=(m1,m2)=$(c_{2}z1^{-1}(mod\ p),c_{3}z2^{-1}(mod\ p))$

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